Um estudante universitário acabou de resolver um problema de matemática notoriamente impossível

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Um matemático pode ter acabado de provar que o impossível é possível.

Por 30 anos, os matemáticos se perguntaram se você poderia ter um conjunto infinito de números onde cada par de números soma um valor único, e se cada um desses valores fosse razoavelmente grande.

Em março, um estudante de pós-graduação da Universidade de Oxford finalmente resolveu o problema recorrendo a uma solução improvável: a geometria.

Em 1993, o matemático húngaro Paul Erdős - um dos matemáticos mais prolíficos do século 20 - fez uma pergunta com dois componentes aparentemente em desacordo: um conjunto de Sidon poderia ser uma "base assintótica de ordem três?"

Vamos explicar.

Nomeados em homenagem a outro matemático húngaro, Simon Sidon, esses conjuntos são basicamente uma coleção de números em que não há dois números no conjunto que somem o mesmo número inteiro. Por exemplo, no conjunto simples de Sidon (1, 3, 5, 11), quando qualquer um dos dois números do conjunto são somados, eles resultam em um número único. Construir um conjunto Sidon com apenas quatro números é extremamente fácil, mas à medida que o conjunto aumenta de tamanho, fica cada vez mais difícil. Assim que duas somas são iguais, a coleção de números não é mais considerada um conjunto de Sidon.

O segundo elemento do problema de Erdős - aquela parte assustadora da "base assintótica de ordem três" - significa que:

um conjunto deve ser infinitamente grande

qualquer inteiro grande o suficiente pode ser escrito como o resultado da soma de no máximo 3 números no conjunto.

Portanto, esse enigma de 30 anos se concentrava em saber se esses dois elementos poderiam ou não existir no mesmo conjunto de números. Durante décadas, a resposta parecia ser não.

Mas em março deste ano, o estudante de pós-graduação de Oxford, Cédric Pilatte, publicou uma prova confirmando a existência de tal conjunto de Sidon. Alcançar esse marco não foi fácil. Em 2010, os matemáticos provaram que um conjunto de Sidon pode ser uma base assintótica de ordem 5 e, três anos depois, eles provaram que também era possível para um conjunto de Sidon "ser uma base assintótica de ordem 4". Mas a "ordem 3" permaneceu indefinida - alguns a consideraram teoricamente possível, mas incrivelmente difícil (e potencialmente impossível) de provar.

"Eles estão indo em direções opostas", disse Pilatte à Quanta Magazine. "Os conjuntos de Sidon são restritos a serem pequenos e uma base assintótica é restrita a ser grande. Não era óbvio que poderia funcionar."

Então, como Pilatte conseguiu que um pino matematicamente quadrado se encaixasse em um buraco aparentemente redondo? Ele adotou uma abordagem não convencional e voltou-se para a geometria, em vez do método probabilístico defendido por Erdős e o que é chamado de teoria aditiva dos números. Pilatte substituiu números por polinômios e fez uso do trabalho recente de matemáticos da Universidade de Columbia. Combinando essas ideias, Pilatte criou com sucesso um conjunto Sidon denso o suficiente e aleatório o suficiente para finalmente resolver o problema original de Erdős.

O trabalho de Pilatte baseou-se nas descobertas de muitos matemáticos em diferentes disciplinas e até combinou campos aparentemente não relacionados da matemática para responder à pergunta. “É legal que essas técnicas muito profundas da geometria algébrica também possam ser usadas para essa questão simples e concreta sobre conjuntos de números”, disse Pilatte à Quanta Magazine.

E com isso, mais uma questão de matemática "impossível" é considerada muito possível.

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